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Sistemas de Numeração Não Decimais
Sistemas de Numeração Posicional
O método que conhecemos para escrever os números utiliza um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor. Por exemplo; Em nosso sistema usual de numeração - sistema decimal , utilizamos um total de 10 algarismos, a saber : 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9, por isso, afirmamos que trabalhamos na base 10 de numeração, pois utilizamos um total de 10 algarismos. Quando escrevemos o número 374, sabemos que o algarismo 3 representa 300 unidades, 30 dezenas ou 3 x 102 unidades, o algarismo 7 representa 70 unidades, 7 dezenas ou 7 x 101 unidades e o 4 representa 4 unidades ou 4 x 100 unidades. Assim, podemos escrever : 374 = 3 x 102 + 7 x 101 + 4x100
Base de um Sistema de Numeração
A base de um sistema de numeração é a quantidade de algarismos utilizados para a escrita de todos os números. O sistema de base 10 é usualmente empregado em nosso dia-a-dia, embora não seja a única base de numeração utilizada. Quando adquirimos uma dúzia de laranjas, duas dúzias de rosas, cinco dúzias de bananas ou uma grosa ( doze dúzias ) de parafusos estaremos trabalhando na base duodecimal (base 12) de numeração. Quando marcamos o tempo em dias, horas, minutos e segundos estamos trabalhando com a base 60 de numeração, ou na base sexagesimal. Os computadores utilizam a base 2 ( sistema binário ) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 64 (base 16 ou sistema hexadecimal) também a base 8 = 23 sistema octal ou octagenário
Explicação Gráfica de um Sistema de Numeração
No quadro abaixo, temos 43 unidades. Vamos contá-las em alguns sistemas de numeração.
Sistema Decimal
No Sistema Decimal contamos de dez em dez e sabemos que cada 10 unidades de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 10 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 10 unidades de 3ª ordem equivalem a 1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente No sistema decimal contamos de 10 em 10. Com isso formamos 4 grupos de 10 e mais 3 unidades. E dessa forma 43 unidades será representada como: 4 grupos de 10 ( dezenas ) + 3 unidades = 43(10)
Sistema de Base 2 ( Sistema Binário )
No Sistema Binário contamos de dois em dois e sabemos que cada 2 unidades de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 2 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 2 unidades de 3ª ordem equivalem a 1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente. No sistema binário contamos de 2 em 2. Com isso formamos 21 grupos de 2 e mais 1 unidade. Como cada dois grupos desses 21 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 21 : 2 = 10 unidades de terceira ordem e uma unidade de segunda ordem de resto. Como cada dois grupos desses 10 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 10 : 2 = 5 unidades de quarta ordem e zero unidades de terceira ordem. Como cada dois grupos desses 5 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 5 : 2 = 2 unidades de quinta ordem e uma unidade de quarta ordem. Como cada dois grupos desses 2 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 2 : 2 = 1 unidade de sexta ordem e zero unidades de quinta ordem. Dessa forma : 43(10) = 101011(2)
Sistema de Base 3 ( Sistema Ternário )
No Sistema Ternário contamos de três em três e sabemos que cada 3 unidades de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 3 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 3 unidades de 3ª ordem equivalem a 1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente. (10) = 1121(3)
Sistema de Base 4 ( Sistema quaternário )
No Sistema Quaternário contamos de quatro em quatro e sabemos que cada 4 unidades de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 4 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 4 unidades de 3ª ordem equivalem a 1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente. No sistema quaternário contamos de 4 em 4. Com isso formamos 10 grupos de 4 e mais 3 unidades. Como cada 4 grupos desses 10 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 10 : 4 = 2 unidades de terceira ordem e 2 unidades de segunda ordem de resto. Como cada 3 grupos desses 4 grupos formam uma unidade de ordem superior, teremos 4 : 3 = 1 unidades de quarta ordem e uma unidade de terceira ordem. Dessa forma : 43(10) = 223(4)
Sistema de Base 8 ( Sistema octal ou octagenário)
No Sistema de base oito contamos de oito em oito e sabemos que cada 8 unidades de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 8 unidades de 2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 8 unidades de 3ª ordem equivalem a 1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente. No sistema octal contamos de 8 em 8. Com isso formamos 5 grupos de 8 e mais 3 unidades. Como a quantidade 5 grupos é inferior a 8, já concluímos a transformação solicitada. Dessa forma : 43(10) = 53(8)
Notação
Quando escrevemos numa base diferente da decimal, grifamos o número com um índice que determina a sua base de numeração. Sempre que um número for apresentado sem índice que indique sua base de numeração, entenderemos que a base é dez. Sempre que outra base for utilizada, essa base terá de ser, obrigatoriamente, indicada. Se o número ABC estiver escrito na base n, escreveremos : ABC(n) ou ABCn ou (ABC)n Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2 utilizamos apenas 2 algarismos: 0 e 1. Exemplo: 1001(2) ; 100010101(2) Na base 4 utilizamos apenas os 4 primeiros algarismos: 0, 1, 2 e 3. Exemplo: 3201(4) ; 22031(4) Na base 7 utilizamos os 7 primeiros algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Exemplo: 562(7) ; 3405(7) Na base 8, seriam os 8 primeiros os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Exemplo: 753(8) ; 6714(8) Na base 16, seriam os 10 algarismos usados na base 10 e mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades. Exemplo: 9AE0(16) ; 84CD(16) De um modo geral, temos que uma base b qualquer utilizará b algarismos, onde b varia entre 0 e b - 1.
Mudança de Base
Mudança da Base Decimal para uma Base Qualquer
Para transformarmos da base decimal para uma base qualquer devemos dividir sucessivamente o número e a seguir os quocientes obtidos pelo algarismo representativo dessa base até que a divisão não seja mais possível. Só um exemplo tornará mais clara essa definição. Exemplo 01 - Transforme para a base 5 o número 269. Como a base 5 trabalha em grupos de 5, devemos dividir, sucessivamente, essas 269 unidades por 5. ou dessa forma, mais prática E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremos a nossa solução: 269 = 2034(5) Esse número não pode ser lido como dois mil e trinta e quatro na base cinco, já que essa leitura é específica da base decimal. O correto será: dois, zero, três, quatro na base cinco. Exemplo 02 - Transforme para a base 8 o número 531. Como a base 8 trabalha em grupos de 8, devemos dividir, sucessivamente, essas 531 unidades por 8. ou dessa forma, mais prática E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremos a nossa solução: 531 = 1023(8) Esse número não pode ser lido como mil e vinte e três na base oito, já que essa leitura é específica da base decimal. O correto será: um, zero, dois, três na base cinco. Exemplo 03 - Transforme para a base 2 o número 97. Como a base 2 trabalha em grupos de 2, devemos dividir, sucessivamente, essas 97 unidades por 2. E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremos a nossa solução: 97 = 1000011(2) Como já sabemos, esse número deverá ser lido como: um, zero, zero, zero, zero, um, um na base dois. Exemplo 04 - Transforme para a base 12 o número 1579, considerando A = 10 e B = 11. Como a base 12 trabalha em grupos de 12, devemos dividir, sucessivamente, essas 1579 unidades por 12. E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, e, também, lembrando que A = 10 e B = 11, teremos a nossa solução: 1579 = AB7(12)
Mudança de uma Base Qualquer para a Base Decimal
1° Método: Para transformarmos o número, de n algarismos, ABC...YZ escrito numa base b para a base decimal, teremos: A . b(n - 1) + B . b(n - 2) + C . b(n - 3) + D .b(n - 3) + ....... + X . b2 + Y . b1 + Z . b0 Só um exemplo tornará mais clara essa transformação. Exemplo 05 - Transforme para a base decimal o número 1246(7). Se o número possui 4 algarismos, a primeira potência de 7 terá o expoente 4 - 1 = 3, assim : 1 . 7(4 - 1) + 2 . 7(4 - 2) + 4 . 7(4 - 3) + 6 . 7(4 - 4) = 1 . 73 + 2 . 72 + 4 . 71 + 6 . 70 = 343 + 98 + 28 + 6 = 475 Exemplo 06 - Transforme para a base decimal o número 302(4). Se o número possui 3 algarismos, a primeira potência de 4 terá o expoente 3 - 1 = 2, assim : 3 . 4(3 - 1) + 2 . 4(3 - 2) + 2 . 4(3 - 3)= 3 . 42 + 2 . 41 + 2 = 3 . 16 + 2 . 4 + 2 = 48 + 8 + 2 = 58 2° Método: Para transformarmos um número escrito numa base b para a base decimal, podemos aplicar o método Prático: "Desce multiplicando e sobe somando". Apliquemos esse método: Exemplo 07 - Transforme para a base decimal o número 652(8) Sempre começamos pelo algarismo da esquerda. Ele desce multiplicando pela base 8 ==> 6 x 8 = 48 e sobe somando pelo próximo algarismo: 48 + 5 = 53 e o processo continua: o resultado 53 desce multiplicando pela base 8 ==> 53 x 8 = 424 e sobe somando com o próximo e último algarismo: 424 + 2 = 426. Assim 652(8) = 426(10) Exemplo 08 - Transforme para a base decimal o número 10212(3) Sempre começamos pelo algarismo da esquerda. Ele desce multiplicando pela base 3 ==> 1 x 3 = 3 e sobe somando pelo próximo algarismo: 3 + 0 = 3 e o processo continua: o resultado 3 desce multiplicando pela base 3 ==> 3 x 3 = 90 e sobe somando com o próximo 2 ==> 9 + 2 = 11 e e sobe somando pelo próximo algarismo: 11 x 3 = 33 + 1 = 34 ...... 34 x 3 = 102 + 2 = 104 Assim 10212(3) = 104(10) 3° Método: Para transformarmos um número escrito numa base b para a base decimal, podemos aplicar um segundo método Prático: Método das sucessivas divisões. Esse algoritmo é a aplicação contrária do método para a transformação da base decimal para uma base qualquer. Apliquemos esse método: Exemplo 09 - Transforme para a base decimal o número 7182(9) Se o número possui quatro algarismos, faremos três divisões sucessivas com o divisor 9 e escreveremos o número 7182 de baixo para cima, o algarismo 7 será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Assim : Com isso , teremos que : 7182(9) = 5.258(10) = 5.258 Exemplo 10 - Transforme para a base decimal o número 345(6) Se o número possui três algarismos, faremos duas divisões sucessivas com o divisor 6 e escreveremos o número 345 de baixo para cima, o algarismo 3 será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Assim : Com isso , teremos que : 345(6) = 137(10) = 137 Exemplo 11 - Transforme para a base decimal o número AB3G8(16) Se o número possui cinco algarismos, faremos quatro divisões sucessivas com o divisor 16 e escreveremos o número AB3E8 de baixo para cima, o algarismo A será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Não podemos esquecer que na base 16, temos : A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 e F = 15. Assim : Com isso , teremos que : AB3G8(16) = 701 416(10) = 701.416 Observação Importante: Quando transformamos um número na base decimal para uma base menor que 10, o número, se lido na base decimal será sempre maior que o correspondente decimal. Exemplo : 345(6) = 137(10) 345(10) > 137(10) Mudança de uma Base não-decimal para uma Base não-decimal. Nesse caso transformamos o número inicial para a base decimal e transformamos dessa para a base não decimal solicitada Exemplo 11 - Transforme para a base 8 o número 4312(5). 1ª Etapa: Vamos transformar 4312(5) para a base decimal. Se o número possui 4 algarismos, a primeira potência de 5 terá o expoente 4 - 1 = 3, assim : 4 . 5(4 - 1) + 3 . 5(4 - 2) + 1 . 5(4 - 3) + 2 . 5(4 - 4) = 4 . 53 + 3 . 52 + 1 . 51 + 2 . 50 = 500 + 75 + 5 + 2 = 582 2ª Etapa:Vamos transformar 582(10) para a base 8. E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremos a nossa solução: 582 = 1106(8) e 4312(5) = 1106(8) Exemplo 12 - Transforme para a base 7 o número 10010(2). 1ª Etapa: Vamos transformar 10010(2) para a base decimal. Se o número possui 5 algarismos, a primeira potência de 2 terá o expoente 5 - 1 = 4, assim : 1 . 2(5 - 1) + 0 . 2(5 - 2) + 0 . 2(5 - 3) + 1 . 2(5 - 4) + 0 . 2(5 - 5) = 1 . 16 + 0+ 0 + 2 + 0 = 18 2ª Etapa: Vamos transformar 18(10) para a base 7. E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e o único resto, teremos a nossa solução: 18 = 24(7) e 10010(2) = 24(7) Exercícios Propostos I - Transforme para a base binária ( base 2 ).
01) 29 02) 47 03) 75 04) 123
II - Transforme para a base ternária ( base 3 ).
05) 23 06) 34 07) 69 08) 158
III - Transforme para a base quaternária ( base 4 ).
09) 47 10) 51 11) 98 12) 183
IV - Transforme para a base 5.
13) 61 14) 87 15) 129 16) 266
V - Transforme para a base 6.
17) 78 18) 93 19) 145 20) 297
VI - Transforme para a base 7.
21) 29 22) 72 23) 161 24) 328
VII - Transforme para a base octal ( base 8 ).
25) 36 26) 189 27) 377 28) 675
VIII - Transforme para a base 9.
29) 98 30) 107 31) 783 32) 1.044
IX - Transforme para a base 12, sendo A = 10 ; B = 11 .
33) 1.143 34) 1.709 35) 18.993
X - Transforme para a base 14, sendo A = 10 ; B = 11 ; C = 12 e D = 13.
36) 1.132 37) 4.880 38) 37.866
XI - Transforme para a base 16, sendo A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 ; F = 15.
39) 1.020 40) 32.228 41) 43.981
XII - Transforme para a base decimal.
42) 1011(2) 43) 110101(2) 44) 1010111(2) 45) 120(3)
46) 2132(4) 47) 3301(4) 48) 4032(5) 49) 451(6)
50) 5264(7) 51) 753(8) 52) 1641(8) 53) 5834(9)
54) 2A5A(11) 55) 7AAB(12) 56) ACB(15) 57) 50AF(16)
XIII - Transforme para a base solicitada.
58) 132(4) = ..................... (2) 59) 10110(2) = ..................... (7) 60) 1432(5) = ..................... (8)
61) 645(7) = ..................... (12) 62) 1402(8) = ..................... (16) 63) ACD1(16) = ................... (3)
64) Em que base de numeração o número 216, escrito na base decimal, é representado por 1000 ? 65) Em que base de numeração o número 324, escrito na base sete, é representado por 131 ? 66) Determine o valor de M, de tal maneira que MMMM(4) = 255 ? 67) Determine a representação de P = 14654(b), na base b+1 ? 68) Em que base de numeração o cubo de 12 é igual a 1750 ? base 8 69) Quantos números de 3 algarismos existem na base 9 ? 70) Quantos algarismos serão utilizados para numerarmos, na base 7, as 65 páginas de um livro ? 71) Em paginar um livro no sistema de base 5, um aluno encontrou 146 algarismos. Quantas são as páginas desse livro ? 72) Escreva na base 2x o número 4444(x) Questões de Concurso 73) ( CEFET RJ ) Escrevendo o número 324 num sistema de base 3 obtemos :
a) 110000 b) 101110 c) 122010 d) 210010 e) 112110
74) ( CEFET RJ ) A data 25 / 11 / 89. se for escrita no sistema de base 8, será :
a) 30 / 10 / 70 b) 13 / 31 / 131 c) 31 / 13 / 131 d) 31 / 13 / 113 e) 52 / 11 / 78
75) ( CEFET RJ ) Escreva o numeral 745 no sistema de base 16, sabendo que, nesse sistema, os símbolos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
a) A4B5 b) 2E9 c) 2BA1 d) 21CD e) 1EF
76) ( F.C.Chagas ) Num sistema de numeração de base 4, faz-se a contagem do seguinte modo : 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30 ... O número 42 no sistema de base 4 é composto de :
a) 4 algarismos iguais b) 3 algarismos iguais c) 2 algarismos iguais
d) 3 algarismos distintos e) 2 algarismos distintos



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